“函数”是贯穿于高中数学的一条主线，它的知识点多、覆盖面广、思想丰富、综合性强，很容易与其他知识建立联系. 正因为如此，每年的高考对函数问题的考查所占的比例都相当大，可以说是常考常新. 尤其是“导数”和“向量”进入中学数学教材之后，开辟了解决函数问题的新途径，拓宽了高考对函数问题的命题空间. 下面笔者将结合自己多年的教学实践，谈谈如何运用函数思想解决各类数学问题，并力图在解题过程中体现函数思想的精髓.
运用一：以集合为载体的函数问题
例1 若Ａ={ｘ|－2≤ｘ≤ａ}，Ｂ={ｙ｜ｙ＝2ｘ+3，ｘ∈Ａ}，Ｃ={ｚ|ｚ=ｘ2，ｘ∈Ａ}，且ＣＢ，求ａ的取值范围 .
思路：联想图象，由形定数 .
解：Ｂ={ｙ|－1≤ｙ≤2ａ+3}. 如图，抛物线ｚ=ｘ2与直线ｘ=－2、ｘ=ａ的交点分别是(－2，4)、(ａ， ａ2)，直线ｙ=2ｘ+3与ｘ=－2、ｘ=ａ的交点分别是(－2，－1)、(ａ，2ａ+3).
要使ＣＢ，当且仅当 ， ∴≤2ａ≤3．
评注：从B、C条件中的函数联想到它的图象，则集合间的包含关系立即得到直观化，相应的代数关系式随之确定，避免了对ａ的分类讨论. 由于每一个函数总对应一个图象，因此，对于以集合为载体的函数问题常常利用函数的图象，来直观反映集合间的关系，以达到解决问题的目的.
运用二：以函数基本性质为主线的问题
例2 设ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上以2为周期的函数，且ｆ(ｘ)为偶函数，在区间[2，3]上，ｆ(ｘ)=－2(ｘ－3)2+4，求ｘ∈[1，2]时，ｆ(ｘ)的解析式 .
思路：确定[2，3]的对称区间[－3，－2]上的解析式，将ｘ∈[1，2]通过周期变换转化为ｘ+ｈ∈[－3，－2] (ｈ为常数) .
解：∵当ｘ∈[2，3]时，ｆ(ｘ)=－2(ｘ－3)2+4．
而ｆ(ｘ)为偶函数，顶点(3，4)关于ｙ轴的对称点的坐标为(－3，4)，
∴当ｘ∈[－3，－2]时，ｆ(ｘ)=－2(ｘ+3)2+4
当ｘ∈[1，2]时，即1≤ｘ≤2，∴－3≤ｘ－4≤－2，ｘ－4∈[－3，－2]，
∴ ｆ(ｘ－4)＝－2(ｘ－4+3)2+4 =－2(ｘ－1)2+4
又∵2为ｆ(ｘ)的周期，∴－4也为周期. ∴ ｆ(ｘ－4)=ｆ(ｘ) ．
故当ｘ∈[1，2]时，ｆ(ｘ)=－2(ｘ－1)2+4.
评注：本题融函数的周期性、奇偶性、分段性、图象的对称性等知识于一体，以考查函数基本性质的综合应用． 这是函数问题的一种基本题型，同学们要熟练掌握．
运用三：以二次函数为主线的问题
例3 已知Ａ=[－1，1]，Ｂ=[－，]，函数
ｆ(ｘ)=2ｘ2+ｍｘ－1. (1)若对任意ｘ∈Ｒ，都有ｆ(1+ｘ)=ｆ(1－ｘ)成立，试求ｘ∈Ｂ时ｆ(ｘ)的值域；(2)当ｍ∈Ａ，ｘ∈Ｂ时，证明|ｆ(ｘ)|≤.
思路：从二次函数的对称性、单调性、最值着手，注意不等式的放缩.
(1)解：∵ｆ(1+ｘ)=ｆ(1－ｘ)对任意ｘ∈Ｒ都成立，
∴ ｘ=1是函数ｙ=ｆ(ｘ)图象的对称轴，
即－=1，∴ ｍ=－4， ∴ ｆ(ｘ)=2ｘ2－4ｘ－1=2(ｘ－1)2－3.
当ｘ∈Ｂ时，ｆ(ｘ)单调递减，∴ ｆ()≤ｆ(ｘ)≤ｆ(－)，即－2≤ｆ(ｘ)≤2. 故ｆ(ｘ)的值域为[－2，2].
(2)证明：∵ｍ∈Ａ，ｘ∈Ｂ，∴|ｍ|≤１，ｘ2≤，∴1－2ｘ2≥0.
于是|ｆ(ｘ)|=|2ｘ2－1+ｍｘ|≤|2ｘ2－1|+|ｍｘ|=1－2ｘ2+|ｍ||ｘ|≤ －2|ｘ|2+|ｘ|+1=－2(|ｘ|－)2+(当且仅当|ｘ|=时，等号成立).
评注：①由于二次函数常常与二次方程、二次不等式紧密相联，同时，有不少实际问题往往以这三者为数学模型，因此，这类问题常常是高考考查的重点内容之一. ②一般地，定义在Ｒ上的函数ｙ=ｆ(ｘ)(不局限于二次函数)，若ｆ(ｂ－ｘ)= ｆ(ａ+ｘ)，则函数ｙ=ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ=对称. 特别地，若ｆ(ａ－ｘ)=ｆ(ａ+ｘ)[或ｆ(ｘ)=ｆ(2ａ－ｘ)]， 则函数ｙ=ｆ(ｘ)图象关于直线ｘ=ａ对称. 当ａ=0时，函数ｙ=ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ=0(即ｙ轴)对称，此时ｙ=ｆ(ｘ)为偶函数. 必须注意：“ｆ(ｂ－ｘ)=ｆ(ａ+ｘ)”与“ｆ(ｘ－ｂ)=ｆ(ｘ－ａ)”的区别，后者意味着ｆ(ｘ)是以ａ－ｂ为周期的周期函数，特别地，若ｆ(ｘ－ａ)=ｆ(ｘ+ａ)，则ｆ(ｘ)是以2ａ为周期的周期函数.
运用四：以三次函数为主线的问题
例4 已知ｆ(ｘ)=ｘ3+ｂｘ2+ｃｘ+ｄ在ｘ=－与ｘ=1时都取得极值. (1)求ｂ、ｃ之值；(2)若对任意ｘ∈[－1，2]，ｆ(ｘ)< 3ｄ 2恒成立，求ｄ的取值范围 .
思路：利用导数研究函数的极值与最值.
解：(1) ｆ '(ｘ)=3ｘ2+2ｂｘ+ｃ
由题意知，－，1是方程3ｘ2+2ｂｘ+ｃ＝０的两根，于是
∴ ｂ＝－，ｃ=－2．
(2)ｆ(ｘ)=ｘ3－ｘ2－2ｘ+ｄ， ｆ '(ｘ)=3ｘ2－ｘ－2.
当ｘ∈ 时，ｆ '(ｘ)>0；当ｘ∈(－，1)时，ｆ '(ｘ)<0；
当ｘ∈(1，2]时，ｆ '(ｘ)>0，
∴当ｘ＝－时，ｆ(ｘ)有极大值+ｄ.
又ｆ(2)=2+ｄ >+ｄ，∴当ｘ∈[－1，2]时，ｆ(ｘ)的最大值为2+ｄ.
对任意ｘ∈[－1，2]，ｆ(ｘ)<3ｄ 2恒成立ｆ(ｘ)ｍａｘ<3ｄ 2，即2+ｄ<3ｄ 2，∴ｄ >1或ｄ <－.
评注：本题融三次函数、导数、不等式、方程等知识于一体，主要考查导数在三次函数的单调性、极值与最值问题中的应用. 新增导数内容后，近几年的高考新课程卷中陆续出现考查三次函数的最值、极值、单调性、图象的问题，这类问题虽然难度不大，但具有内容新、背景新、方法新等特点，预计在今后的高考中还会进一步加大考查的力度.
运用五：以抽象函数为主线的问题
例5 设ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的函数，当ｘ>0时，ｆ(ｘ)>1，且对任意的实数ｘ、ｙ，均有ｆ(ｘ+ｙ)=ｆ(ｘ)·ｆ(ｙ). (1)求ｆ(0)的值；(2)证明：对任意ｘ∈Ｒ，都有ｆ(ｘ)>0；(3)证明ｆ(ｘ)在Ｒ上是增函数 .
思路：合理赋值(化抽象为具体)，作恒等变形，注意分类讨论的思想.
(1)解：在ｆ(ｘ+ｙ)=ｆ(ｘ)·ｆ(ｙ)中，令ｘ=ｙ=0, 则有
ｆ(0)=ｆ 2(0)，∴ ｆ(0)=0或ｆ(0)=1.
当ｆ(0)=0时，令ｙ=0， ｘ>0得，ｆ(ｘ)= ｆ(ｘ) ·ｆ(0)=0, 此与题设：当ｘ>0时，ｆ(ｘ) >1矛盾，∴ ｆ(0)≠0. 故ｆ(0)=1.
(2)证明：当ｘ>0时，ｆ(ｘ) >1>0；当ｘ<0时，－ｘ>0，ｆ(－ｘ) >1，而 ｆ(ｘ)·ｆ(－ｘ)= ｆ(0)=1，∴ ｆ(ｘ)=>0；当ｘ=0时， ｆ(0)=1>0 因此，对任意ｘ∈Ｒ，都有ｆ(ｘ) > 0.
（3）证明：任取ｘ1，ｘ2∈Ｒ，且ｘ1<ｘ2，则
ｆ(ｘ1) －ｆ(ｘ2)=ｆ(ｘ1)－ｆ[ｘ1+(ｘ2－ｘ1)]=ｆ(ｘ1)－ｆ(ｘ1) ｆ(ｘ2－ｘ1)=ｆ(ｘ1)[1－ｆ(ｘ2－ｘ1)]
∵ ｘ2－ｘ1>0，∴ ｆ(ｘ2－ｘ1)＞１，∴ 1－ｆ(ｘ2－ｘ1)<0，
而ｆ(ｘ1)>0 , ∴ ｆ(ｘ1)－ｆ(ｘ2)<0，即ｆ(ｘ1)<ｆ(ｘ2) . ∴ ｆ(ｘ)在Ｒ上是增函数 ．
评注：本题融抽象函数、函数的单调性、不等式等知识于一体，赋值法在解题中起到了关键性的作用. 利用抽象条件，通过赋值(赋具体值或代数式)、整体思考、找一个具体函数原型等方法去探究函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性、对称性等，再运用相关性质去解决有关问题，是求解抽象函数问题的常规思路. 对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加数量的趋势.
运用六：以向量知识为背景的函数问题
例6 设平面向量=(，－)，=(，). 若存在两个实数ｓ、ｔ及实数ｋ，使 =+(ｔ2－ｋ)，=－ｓ+ｔ且⊥. (1)求函数关系式ｓ=ｆ(ｔ)；(2?雪若函数ｓ=ｆ(ｔ)在[1，+∞?雪上是单调函数，求ｋ的取值范围.
思路：将向量间的几何(位置)关系数量化(坐标关系)，利用导数研究函数的单调性.
解：(1) ∵=(，－)，=(，)，
∴||=||=1，·=0.
又，⊥，∴·=0，即[+(ｔ2－ｋ)](－ｓ+ｔ)=0．
∴－ｓ2+ｔ(ｔ 2－ｋ) 2+(ｔ－ｓｔ 2+ｓｋ)=0，
∴－ｓ+(ｔ2－ｋ)ｔ=0，于是ｓ=ｆ(ｔ)=ｔ3－ｋｔ .
(2)ｆ '(ｔ)=3ｔ2－ｋ .
∵ｆ(ｔ)在[1，+∞?雪上是单调函数，∴在[1，+∞?雪上有ｆ '(ｔ)≥0或ｆ '(ｔ) ≤0.
由ｆ '(ｔ)≥03ｔ 2－ｋ≥0ｋ≤3ｔ 2k≤(3ｔ 2)minｋ≤3.
由ｆ '(ｔ)≤03ｔ 2－ｋ≤0ｋ≥3ｔ 2. 因为在ｔ∈[1，+∞?雪上，3ｔ 2是增函数，所以不存在ｋ，使ｋ≥3ｔ2在[1，+∞?雪上恒成立，故ｋ的取值范围是ｋ≤3.
评注：本题融向量、函数、导数、含参数的不等式等知识于一体，考查学生综合运用数学知识解决函数问题的能力. 由于向量具有几何表示和代数表示的特点，这就使其成为近几年高考表述函数问题的重要载体. 以向量知识为背景的函数问题常常在高考中作为“把关题”，对此，复习中我们要高度重视.
运用七：以高等数学知识为背景的函数问题
例7 定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)满足：如果对任意ｘ1、ｘ2∈Ｒ，都有ｆ≤[ｆ(ｘ1)+ｆ(ｘ2)]，则称ｆ(ｘ)是Ｒ上的凹函数 .
已知二次函数ｆ(ｘ)=ａｘ2+ｘ (ａ∈Ｒ，且ａ≠0) . (1)求证：当ａ >0时，函数ｆ(ｘ)是凹函数；(2) 如果ｘ∈[0，1]时， |ｆ(ｘ)|≤1，试求ａ的取值范围.
思路：弄懂新定义，按定义证明，求解恒成立不等式.
(1)证明：任取ｘ1、ｘ2∈Ｒ, 则
[ｆ(ｘ1)+ｆ(ｘ2)]－2 ｆ
=ａｘ21+ｘ1+ａｘ22+ｘ2－2=ａ(ｘ1－ｘ2)2 ．
∵(ｘ1－ｘ2)2≥0，ａ > 0， ∴ａ(ｘ1－ｘ2)2≥0.
∴ ｆ≤[ｆ(ｘ1)+ｆ(ｘ2)].
∴当ａ > 0时，函数ｆ(ｘ)是凹函数.
(2)解：|ｆ(ｘ)|≤1－1≤ｆ(ｘ)≤1－1≤ａｘ2+ｘ≤1
………………………………………( * ) .
当ｘ=0时，ａ∈Ｒ；当ｘ≠0时，
(*) .
当ｘ∈(0，1]时，－2+的最大值是－2，2－ 的最小值是0，
∴ ，但ａ≠0 . ∴－2≤ａ<0，即为ａ的取值范围．
评注：本题以高等数学中的凹函数为背景，通过给出凹函数的定义（设置新情境），考查学生阅读、理解、迁移新知识的能力，以及灵活运用函数知识求解不等式问题的能力. 在高等数学与高中数学的知识交汇处命题，是近几年高考命题的一种趋势. 在这种问题中，又以函数问题居多.
运用八：以函数的“不动点”为载体的问题
例8 设函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｄ. 若存在ｘ0∈Ｄ，使ｆ(ｘ0)=ｘ0成立，则称（ｘ0，ｘ0）是函数ｆ(ｘ)图象上的一个不动点. (1)若函数ｆ(ｘ)=的图象上有两个关于原点对称的不动点，求ａ，ｂ应满足的条件；(2)在(1)的条件下，若ａ=8，设ｆ(ｘ)的图象上两个不动点分别为Ａ、Ａ'，求平行于直线ＡＡ'且与ｆ(ｘ)的图象相切的直线方程.
思路：理解“不动点”的定义，利用导数求切线方程.
解：(1)由ｆ(ｘ0)=ｘ0得，=ｘ0，整理得
ｘ20+(ｂ－3)ｘ0－ａ=0 ………………………………………(*).
由题意知，方程(*)有两个绝对值相等，符号相反的根，因此，ｂ－3=0，且－ａ<0，∴ｂ=3，ａ>0. 而ｆ(ｘ)=3+，所以ａ≠9，故ａ、ｂ应满足的条件是ｂ=3，ａ>0且ａ≠9.
(2)当ａ=8，ｂ=3时，ｆ(ｘ)=. 由=ｘ得两个不动点为Ａ(2，2)，Ａ'(－2，－2) .
∴直线ＡＡ'的斜率为1.
又ｆ '(ｘ)=(3－) ' =，
∴=1ｘ1=－4，ｘ2=－2．
∴切点为Ｐ(－4，4)和Ｑ(－2，2) . 于是所求的切线方程是ｙ－4=ｘ+4和ｙ－2=ｘ+2，即ｙ=ｘ+8和ｙ=ｘ+4.
评注：函数的“不动点”问题，是近两年各地高考模拟题和高考题中出现的一种新题型. 这类问题往往将函数、方程、解几、导数等知识有机地融合在一起，极富思考性和挑战性，能有效考查学生的思维水平，预计这类问题在今后的高考中将会设计得更加灵活，更能体现“能力立意”的命题要求.
